3.11 \(\int \frac{(d \sin (e+f x))^n (A+B \sin (e+f x))}{(a+a \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=226 \[ -\frac{(-4 A n+A+B (4 n+3)) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) F_1\left (\frac{1}{2};-n,1;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x),\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x))\right ) (d \sin (e+f x))^n}{4 a f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{(2 n+1) (A-B) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n \, _2F_1\left (\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x)\right )}{2 a f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}+\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{n+1}}{2 d f (a \sin (e+f x)+a)^{3/2}} \]

[Out]

((A - B)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(2*d*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - 4*A*n + B*(3 + 4*n)
)*AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1 - Sin[e + f*x])/2]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(4*a*f*Si
n[e + f*x]^n*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*(1 + 2*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - S
in[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(2*a*f*Sin[e + f*x]^n*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.674921, antiderivative size = 226, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 10, integrand size = 35, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.286, Rules used = {2978, 2987, 2787, 2786, 2785, 130, 429, 2776, 67, 65} \[ -\frac{(-4 A n+A+B (4 n+3)) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) F_1\left (\frac{1}{2};-n,1;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x),\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x))\right ) (d \sin (e+f x))^n}{4 a f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{(2 n+1) (A-B) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n \, _2F_1\left (\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x)\right )}{2 a f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}+\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{n+1}}{2 d f (a \sin (e+f x)+a)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

((A - B)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(2*d*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - 4*A*n + B*(3 + 4*n)
)*AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1 - Sin[e + f*x])/2]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(4*a*f*Si
n[e + f*x]^n*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*(1 + 2*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - S
in[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(2*a*f*Sin[e + f*x]^n*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])

Rule 2978

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*
x])^(n + 1))/(a*f*(2*m + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*(2*m + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m +
1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[B*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + A*(b*c*(m + 1) - a*d*(2*m + n + 2)) + d*(A*b - a*B)*
(m + n + 2)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2
- b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)] &&  !GtQ[n, 0] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c,
0])

Rule 2987

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/b, Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x
], x] + Dist[B/b, Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && NeQ[A*b + a*B, 0]

Rule 2787

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^In
tPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m])/(1 + (b*Sin[e + f*x])/a)^FracPart[m], Int[(1 + (b*Sin[e + f*x])/a)^
m*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rule 2786

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[((d/b
)^IntPart[n]*(d*Sin[e + f*x])^FracPart[n])/(b*Sin[e + f*x])^FracPart[n], Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(b*Sin[e +
f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !Gt
Q[d/b, 0]

Rule 2785

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> -Dist[(b*(d
/b)^n*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]]), Subst[Int[((a - x)^n*(2*a - x)^(m -
1/2))/Sqrt[x], x], x, a - b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0] && GtQ[d/b, 0]

Rule 130

Int[((e_.)*(x_))^(p_)*((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[p]
}, Dist[k/e, Subst[Int[x^(k*(p + 1) - 1)*(a + (b*x^k)/e)^m*(c + (d*x^k)/e)^n, x], x, (e*x)^(1/k)], x]] /; Free
Q[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && FractionQ[p] && IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rule 2776

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist
[(a^2*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]]), Subst[Int[(c + d*x)^n/Sqrt[a - b*x]
, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ
[c^2 - d^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n]

Rule 67

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[((-((b*c)/d))^IntPart[m]*(b*x)^FracPart[m])/
(-((d*x)/c))^FracPart[m], Int[(-((d*x)/c))^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m]
&&  !IntegerQ[n] &&  !GtQ[c, 0] &&  !GtQ[-(d/(b*c)), 0]

Rule 65

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(n + 1)*Hypergeometric2F1[-m, n +
1, n + 2, 1 + (d*x)/c])/(d*(n + 1)*(-(d/(b*c)))^m), x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && (Inte
gerQ[m] || GtQ[-(d/(b*c)), 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(d \sin (e+f x))^n (A+B \sin (e+f x))}{(a+a \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx &=\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{2 d f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{\int \frac{(d \sin (e+f x))^n \left (a d (A+B-A n+B n)+\frac{1}{2} a (A-B) d (1+2 n) \sin (e+f x)\right )}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}} \, dx}{2 a^2 d}\\ &=\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{2 d f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{((A-B) (1+2 n)) \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{4 a^2}+\frac{\left (-\frac{1}{2} a^2 (A-B) d (1+2 n)+a^2 d (A+B-A n+B n)\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^n}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}} \, dx}{2 a^3 d}\\ &=\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{2 d f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{\left (\left (-\frac{1}{2} a^2 (A-B) d (1+2 n)+a^2 d (A+B-A n+B n)\right ) \sqrt{1+\sin (e+f x)}\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^n}{\sqrt{1+\sin (e+f x)}} \, dx}{2 a^3 d \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}+\frac{((A-B) (1+2 n) \cos (e+f x)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(d x)^n}{\sqrt{a-a x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{4 f \sqrt{a-a \sin (e+f x)} \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}\\ &=\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{2 d f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{\left (\left (-\frac{1}{2} a^2 (A-B) d (1+2 n)+a^2 d (A+B-A n+B n)\right ) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n \sqrt{1+\sin (e+f x)}\right ) \int \frac{\sin ^n(e+f x)}{\sqrt{1+\sin (e+f x)}} \, dx}{2 a^3 d \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}+\frac{\left ((A-B) (1+2 n) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^n}{\sqrt{a-a x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{4 f \sqrt{a-a \sin (e+f x)} \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}\\ &=\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{2 d f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{(A-B) (1+2 n) \cos (e+f x) \, _2F_1\left (\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x)\right ) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n}{2 a f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{\left (\left (-\frac{1}{2} a^2 (A-B) d (1+2 n)+a^2 d (A+B-A n+B n)\right ) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(1-x)^n}{(2-x) \sqrt{x}} \, dx,x,1-\sin (e+f x)\right )}{2 a^3 d f \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}\\ &=\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{2 d f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{(A-B) (1+2 n) \cos (e+f x) \, _2F_1\left (\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x)\right ) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n}{2 a f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{\left (\left (-\frac{1}{2} a^2 (A-B) d (1+2 n)+a^2 d (A+B-A n+B n)\right ) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^n}{2-x^2} \, dx,x,\sqrt{1-\sin (e+f x)}\right )}{a^3 d f \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}\\ &=\frac{(A-B) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{2 d f (a+a \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{(A+3 B-4 A n+4 B n) F_1\left (\frac{1}{2};-n,1;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x),\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x))\right ) \cos (e+f x) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n}{4 a f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{(A-B) (1+2 n) \cos (e+f x) \, _2F_1\left (\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2};1-\sin (e+f x)\right ) \sin ^{-n}(e+f x) (d \sin (e+f x))^n}{2 a f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 13.1029, size = 523, normalized size = 2.31 \[ \frac{\sec (e+f x) (d \sin (e+f x))^n \left (A \left (a^2 \sqrt{2-2 \sin (e+f x)} (\sin (e+f x)+1)^2 (-\sin (e+f x))^{-n} F_1\left (1;\frac{1}{2},-n;2;\frac{1}{2} (\sin (e+f x)+1),\sin (e+f x)+1\right )-\frac{4 a \sqrt{\frac{\sin (e+f x)-1}{\sin (e+f x)+1}} (\sin (e+f x)+1) \left (1-\frac{1}{\sin (e+f x)+1}\right )^{-n} \left (2 a (2 n+1) F_1\left (\frac{1}{2}-n;-\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2}-n;\frac{2}{\sin (e+f x)+1},\frac{1}{\sin (e+f x)+1}\right )+a (2 n-1) (\sin (e+f x)+1) F_1\left (-n-\frac{1}{2};-\frac{1}{2},-n;\frac{1}{2}-n;\frac{2}{\sin (e+f x)+1},\frac{1}{\sin (e+f x)+1}\right )\right )}{4 n^2-1}\right )+a B (\sin (e+f x)+1) \left (a \sqrt{2-2 \sin (e+f x)} (\sin (e+f x)+1) (-\sin (e+f x))^{-n} F_1\left (1;\frac{1}{2},-n;2;\frac{1}{2} (\sin (e+f x)+1),\sin (e+f x)+1\right )-\frac{4 \sqrt{\frac{\sin (e+f x)-1}{\sin (e+f x)+1}} \left (1-\frac{1}{\sin (e+f x)+1}\right )^{-n} \left (a (2 n-1) (\sin (e+f x)+1) F_1\left (-n-\frac{1}{2};-\frac{1}{2},-n;\frac{1}{2}-n;\frac{2}{\sin (e+f x)+1},\frac{1}{\sin (e+f x)+1}\right )-2 a (2 n+1) F_1\left (\frac{1}{2}-n;-\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2}-n;\frac{2}{\sin (e+f x)+1},\frac{1}{\sin (e+f x)+1}\right )\right )}{4 n^2-1}\right )\right )}{8 a^3 f \sqrt{a (\sin (e+f x)+1)}} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[((d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(Sec[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n*(a*B*(1 + Sin[e + f*x])*((a*AppellF1[1, 1/2, -n, 2, (1 + Sin[e + f*x])/2, 1 +
Sin[e + f*x]]*Sqrt[2 - 2*Sin[e + f*x]]*(1 + Sin[e + f*x]))/(-Sin[e + f*x])^n - (4*Sqrt[(-1 + Sin[e + f*x])/(1
+ Sin[e + f*x])]*(-2*a*(1 + 2*n)*AppellF1[1/2 - n, -1/2, -n, 3/2 - n, 2/(1 + Sin[e + f*x]), (1 + Sin[e + f*x]
)^(-1)] + a*(-1 + 2*n)*AppellF1[-1/2 - n, -1/2, -n, 1/2 - n, 2/(1 + Sin[e + f*x]), (1 + Sin[e + f*x])^(-1)]*(1
+ Sin[e + f*x])))/((-1 + 4*n^2)*(1 - (1 + Sin[e + f*x])^(-1))^n)) + A*((a^2*AppellF1[1, 1/2, -n, 2, (1 + Sin[
e + f*x])/2, 1 + Sin[e + f*x]]*Sqrt[2 - 2*Sin[e + f*x]]*(1 + Sin[e + f*x])^2)/(-Sin[e + f*x])^n - (4*a*Sqrt[(-
1 + Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])*(2*a*(1 + 2*n)*AppellF1[1/2 - n, -1/2, -n, 3/2 - n, 2
/(1 + Sin[e + f*x]), (1 + Sin[e + f*x])^(-1)] + a*(-1 + 2*n)*AppellF1[-1/2 - n, -1/2, -n, 1/2 - n, 2/(1 + Sin[
e + f*x]), (1 + Sin[e + f*x])^(-1)]*(1 + Sin[e + f*x])))/((-1 + 4*n^2)*(1 - (1 + Sin[e + f*x])^(-1))^n))))/(8*
a^3*f*Sqrt[a*(1 + Sin[e + f*x])])

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.378, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n} \left ( A+B\sin \left ( fx+e \right ) \right ) \left ( a+a\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*sin(f*x+e))^n*(A+B*sin(f*x+e))/(a+a*sin(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

int((d*sin(f*x+e))^n*(A+B*sin(f*x+e))/(a+a*sin(f*x+e))^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \sin \left (f x + e\right ) + A\right )} \left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{n}}{{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^n*(A+B*sin(f*x+e))/(a+a*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((B*sin(f*x + e) + A)*(d*sin(f*x + e))^n/(a*sin(f*x + e) + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{{\left (B \sin \left (f x + e\right ) + A\right )} \sqrt{a \sin \left (f x + e\right ) + a} \left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{n}}{a^{2} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{2} \sin \left (f x + e\right ) - 2 \, a^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^n*(A+B*sin(f*x+e))/(a+a*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-(B*sin(f*x + e) + A)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*(d*sin(f*x + e))^n/(a^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a^2*sin(f*x
+ e) - 2*a^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sin{\left (e + f x \right )}\right )^{n} \left (A + B \sin{\left (e + f x \right )}\right )}{\left (a \left (\sin{\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))**n*(A+B*sin(f*x+e))/(a+a*sin(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Integral((d*sin(e + f*x))**n*(A + B*sin(e + f*x))/(a*(sin(e + f*x) + 1))**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \sin \left (f x + e\right ) + A\right )} \left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{n}}{{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^n*(A+B*sin(f*x+e))/(a+a*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*sin(f*x + e) + A)*(d*sin(f*x + e))^n/(a*sin(f*x + e) + a)^(3/2), x)